Womit beschäftigt sich Mathematik? Die folgende Aufzählung gibt einen ersten Überblick über die Breite mathematischer Themen; sie bezeichnet wichtige Teilgebiete der Mathematik in der ungefähren Reihenfolge ihrer geschichtlichen Entwicklung:

• die Behandlung von Figuren (Geometrie - vorklassische Hochkulturen, Euklid),
• das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
• das Auflösen von Gleichungen (Algebra - Mittelalter und Rennaissance),
• Behandlungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie - Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Riemann, ...),
• das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie - Descartes, 1637),
• das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik - u.a. Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.-19. Jh.).
• das Rechnen mit dem unendlich Kleinen (Analysis - Newton und Leibniz, Ende 17. Jh.),
• die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis - Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.-19. Jh.),
• die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie - Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jh.)
• die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie - Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jh.)
• das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie - u.a. Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jh.),
• die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre, Topologie - Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel , Anfang 20. Jh.)

Siehe auch die Linkliste in dem Portal Mathematik sowie die Artikel Teilgebiete der Mathematik und Geschichte der Mathematik.

Zu den wichtigsten Kennzeichen der Mathematik gehört, dass mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt werden können. Darum ist Mathematik keine Naturwissenschaft, sondern eine Geisteswissenschaft (allerdings gehört der Begriff "Geisteswissenschaft" einer spezifisch deutschen akademischen Tradition an; in dem englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik als "science" eingestuft).

Ebenso kennzeichnend für die Mathematik ist jedoch ihr enges Wechselspiel mit ihren Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept "Kraft gleich Impulsänderung" mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat in dem Rahmen der Hannöverschen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert.

Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boolesche Algebra in der Digitaltechnik oder der Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen in dem Internet nicht denkbar.

Die Mathematik wird auch als Strukturwissenschaft eingeordnet.

Siehe auch die Beschreibung Angewandte Mathematik.

Kennzeichnend für die Mathematik ist zusätzlich die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von "eigentlich zu schweren" Problemen voranschreitet.

Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: "Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?". Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man die Frage stellen "was ist 3 minus 5", die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinausführt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Häufig sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung in dem 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach exakt festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, bezeichnet man Axiome, die daraus hergeleiteten bezeichnet man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zu dem Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien.

Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Da also Gegenstand und Methode bei der Mathematik in dieser Weise in eins fallen, nimmt und nahm die Mathematik stets eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.

Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen häufig durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen.

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe dazu die Beschreibung Phylogenese mathematischer Fähigkeiten.

Siehe Mathematik in der Schule, Mathematikdidaktik.

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, bezeichnet man Mathematiker.

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und in dem Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des Â»rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander in dem frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden.

Für ausführlichere Informationen siehe die Beschreibung Geschichte der Mathematik.

• "5 Minuten Mathematik" (http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html) Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
• Wikibooks: Regal Mathematik - Deutsche Wikibooks zu dem Thema Mathematik , Mathematik in mehreren Bänden
• Zeugnisse über Mathematik (http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm)